ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理（-ていり。ド・モアブルの公式（-こうしき）とも）とは整数<math>n</math>に対して、

<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta</math>

が成り立つという複素数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブルに因む。証明には三角関数の加法定理が利用される。

ひとたびド・モアブルの定理が証明されそれが既知であるならば、定理の等式に現れる n を自然数とするとき、左辺の冪乗を展開して実部・虚部を比較することで、n 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式によれば、この定理は複素変数の指数関数に関する指数法則（の一部）

<math>(i \theta)^{n} = (i n \theta)(\theta \isin R, n \isin Z)</math>

の成立を意味するものである。

証明

1. まずはnが（0を含む）自然数であるときに、数学的帰納法を用いて定理の成立を示す。

[i] <math>n = 0</math>のとき

（左辺）<math>= (\cos \theta + i \sin \theta)^{0} = 1</math>

（右辺）<math>= \cos 0 + i \sin 0 = 1</math>

よって<math>n = 0</math>のとき成立。

[ii] <math>n = k</math>のとき

<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k} = \cos k \theta + i \sin k \theta</math>

が成り立つならば、

<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k + 1}</math>

<math>= (\cos \theta + i \sin \theta)^{k}(\cos \theta + i \sin \theta)</math>

<math>= (\cos k \theta + i \sin k \theta)(\cos \theta + i \sin \theta)</math>

<math>= \cos k \theta \cdot \cos \theta + \cos k \theta \cdot i \sin \theta + i \sin k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta</math>

<math>= (\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta) + i(\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta)</math>

ここで加法定理より、

<math>\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta = \cos (k\theta + \theta)</math>

<math>\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta = \sin (k\theta + \theta)</math>

であるから、結局

<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k + 1} = \cos ((k + 1) \theta) + i \sin ((k + 1) \theta)</math>

となり、<math>n = k + 1</math>のときも定理は成立する。

よって、[i], [ii]からすべての自然数nに対してド・モアブルの定理が成り立つ。

2. 続いてnが負の整数の場合を、既に示したnが自然数の場合を利用して証明する。

<math>n < 0</math>のとき<math>n = -m</math>となる自然数mをとると、1よりmに対しては定理の等式が成立するから、

<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{-m}</math>

<math>= {1 \over {(\cos \theta + i \sin \theta)^{m}}}</math>

<math>= {1 \over {\cos m \theta + i \sin m \theta}}</math>

<math>= {{\cos m \theta - i \sin m \theta} \over {(\cos m \theta + i \sin m \theta)(\cos m \theta - i \sin m \theta)}}</math>

<math>= \cos m \theta - i \sin m \theta</math>

であり、また、

<math>\cos (-m \theta) + i \sin (-m \theta) = \cos m \theta - i \sin m \theta</math>

であるから<math>n < 0</math>のときも成り立つ。

以上からド・モアブルの定理は任意の整数nについて成り立つことが示された。

関連項目

• 複素数
• 三角関数

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